क्या बिना विकल्प के पारलौकिक संख्याओं का कोई आसान अस्तित्व संबंधी प्रमाण है?

पृष्ठभूमि: मैं मेटा साइट से निम्नलिखित टिप्पणी पढ़ रहा था:

"कोई आसानी से दिखा सकता है कि पारलौकिक संख्याएँ मौजूद हैं, लेकिन यह दिखाना कि एक विशेष संख्या पारलौकिक है, एक बहुत अलग प्रश्न है।"

br>पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व का सामान्य "आसान" प्रमाण इस प्रकार है:

हालाँकि, $P_n$ को पूर्णांक गुणांक वाले सभी डिग्री-$n$ बहुपदों का सेट होने दें। फिर $P_n$ की गणना परिमेय की गणना के समान ही की जा सकती है। सभी बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय, $\bigcup_{n\in\mathbb N}\bigcup_{p\in P_n}\bigcup\{\omega:p(\omega)=0\}$, इसलिए एक गणनीय संघ है परिमित समुच्चयों का गणनीय संघ। मैंने पढ़ा है कि "यह ZF के अनुरूप है कि $\mathbb R$ गणनीय सेटों का एक गणनीय संघ है"। इसलिए, किसी प्रकार के विकल्प की सहायता के बिना, गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ हमेशा गणनीय नहीं होता है। मैं केवल सेट सिद्धांत को बहुत कम जानता हूं, लेकिन इससे मुझे उपरोक्त चरण 1 की वैधता पर सवाल उठता है।

यहां मेरे प्रश्न हैं: पसंद के किसी भी प्रकार के सिद्धांत को मानने के बिना, क्या उपरोक्त प्रमाण वैध है? यदि नहीं, तो क्या लिउविल का रचनात्मक प्रमाण ($\sum_{k=0}^\infty 10^{-k!}$ का उपयोग करके) पहले से ही सबसे आसान अस्तित्व संबंधी प्रमाण है?

विकल्प की कोई आवश्यकता नहीं है। हालाँकि ZF यह सिद्ध नहीं कर सकता कि परिमित समुच्चयों का गणनीय संघ गणनीय है, यह साबित कर सकता है कि वास्तविक संख्याओं के परिमित समुच्चयों का गणनीय संघ गणनीय है। ऐसा सिर्फ इसलिए है क्योंकि वास्तविक संख्याओं में एक रैखिक क्रम होता है (संभवतः ZF में), इसलिए वास्तविक संख्याओं का कोई भी सीमित सेट आपके लिए पहले से ही ऑर्डर किया जाता है और जब आप प्रमाण करते हैं तो आपको प्रत्येक सेट का क्रम चुनने की आवश्यकता नहीं होती है।
(और यह दिखाने में कोई समस्या नहीं है कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की संख्या भी गणनीय है, क्योंकि यहां हम केवल पूर्णांकों के परिमित सेटों की गिनती कर रहे हैं, जो पहले से ही अच्छी तरह से क्रमबद्ध हैं।)